Vorhersagbarkeit: warum jede Vorhersage ein Ende hat

Diese Seite zeigt eine Spanne statt einer Zahl, weil die Vorhersage irgendwann aufhört, eine zu sein. Wo dieses Ende liegt und warum es nicht am Rechner liegt, ist seit 1963 bekannt — und wird seither falsch zitiert. Die berühmten „zwei Wochen“ stehen bei Edward Lorenz nämlich nirgends.

Was Lorenz wirklich geschrieben hat

In der Arbeit, die als Geburtsurkunde der Chaostheorie gilt, steht keine Zahl. Sie steht nicht nur nicht da — Lorenz sagt ausdrücklich, dass seine Ergebnisse sie nicht hergeben:

„There remains the very important question as to how long is ‚very-long-range.‘ Our results do not give the answer for the atmosphere; conceivably it could be a few days or a few centuries.“

Edward N. Lorenz: Deterministic Nonperiodic Flow, Journal of the Atmospheric Sciences 20(2), 1963, S. 141.

Was dort steht, ist etwas anderes und etwas Größeres — nämlich, dass keine Rechenleistung der Welt daran etwas ändert:

„… they indicate that prediction of the sufficiently distant future is impossible by any method, unless the present conditions are known exactly.“

Ebenda, S. 141.

Woher die zwei Wochen dann kommen: Lorenz referiert 1969 eine fremde Schätzung — Charney und Kollegen hatten 1966 aus den damaligen Zirkulationsmodellen eine Fehlerverdopplungszeit von fünf Tagen abgeleitet — und zieht daraus selbst den Schluss: „the range of predictability would then be about two weeks.“ Die Zahl ist also eine Folgerung aus einer Verdopplungszeit, die seither mehrfach nach unten korrigiert wurde. Sie ist kein Naturgesetz, sondern ein Rechenergebnis mit Verfallsdatum.

Ein Millionstel Unterschied — und nach 16 Zeiteinheiten zwei Welten

Lorenz’ Gleichungssystem von 1963 hat drei Variablen und drei Konstanten. Es ist so klein, dass man es in zwanzig Zeilen selbst rechnen kann — und es ist trotzdem unvorhersagbar. Unten laufen zwei Rechnungen desselben Systems mit denselben Konstanten (σ = 10, b = 8/3, r = 28, wie bei Lorenz). Ihre Startwerte unterscheiden sich in einer einzigen Variablen um ein Millionstel.

-20 -10 0 10 20 0 5 10 15 20 25 ab hier verschieden (t = 16,5) Zeit (Modelleinheiten) senkrecht: x, eine der drei Variablen
Beide Kurven zeigen dieselbe Größe desselben Systems. Bis etwa zur Zeiteinheit 16,5 liegen sie so genau aufeinander, dass man nur eine sieht. Danach kippt die eine Rechnung auf den einen Flügel des Attraktors, die andere auf den anderen — am Ende steht die eine bei x = +11,6, die andere bei x = −5,0. Kein Fehler im Modell, kein Rundungsproblem: allein der Startunterschied von 10−6. Selbst gerechnet mit Runge-Kutta 4. Ordnung, Schrittweite 0,002.

Der Fehler wächst nicht, er verdoppelt sich

Das Entscheidende ist nicht, dass der Abstand wächst, sondern wie. Auf einer logarithmischen Achse wird eine Gerade daraus — das ist die Signatur exponentiellen Wachstums. Gemittelt über 300 Startpunkte auf dem Attraktor:

10-6 10-5 10-4 10-3 0 1 2 3 4 5 6 7 Striche: jede Verdopplung des Fehlers — alle 0,77 Zeiteinheiten Zeit (Modelleinheiten) senkrecht: Abstand der beiden Rechnungen
Geometrisches Mittel des Abstands zweier Rechnungen über 300 verschiedene Startpunkte, Startunterschied jeweils 10−6. Die Striche markieren jede Verdopplung. Aus dem größten Lyapunov-Exponenten, den ich mit dem Verfahren von Benettin über 2000 Zeiteinheiten selbst gemessen habe (λ = 0,9022 je Zeiteinheit), folgt eine Verdopplungszeit von ln 2/λ = 0,768 Zeiteinheiten. Der in der Literatur für dieses System genannte Wert liegt bei rund 0,906 — meine Messung weicht um 0,4 % davon ab, was als Gegenprobe für die Rechnung taugt.

Der Satz, der die Hoffnung auf bessere Messungen begräbt

Wenn Fehler exponentiell wachsen, ist die naheliegende Rettung: genauer messen. Lorenz hat 1969 vorgerechnet, wie wenig das bringt — weil der Fehler nicht auf einer Skala wartet, sondern von unten nach oben durchschlägt:

„An error in observing a thunderstorm, after doubling perhaps every fifteen minutes until it becomes large, may subsequently lead to an error in a larger scale of motion, which may then proceed to double every five days. If this is the case, cutting the original error in half would increase the range of predictability of the larger scale not by five days but by only fifteen minutes.“

Edward N. Lorenz: The predictability of a flow which possesses many scales of motion, Tellus 21(3), 1969, S. 291.

Fünfzehn Minuten statt fünf Tagen. Das ist der Grund, warum diese Seite keine Genauigkeit verspricht, die es nicht gibt. Lorenz kommt für sein Modell auf eine Grenze von rund 16,8 Tagen — und zwar bei einem beliebig kleinen Anfangsfehler auf einer beliebig kleinen Skala. Ab da hilft kein Messgerät mehr.

Bemerkenswert an derselben Arbeit: Lorenz misstraut seinem eigenen Ergebnis im selben Absatz, in dem er es aufschreibt. Er nennt die Annahmen, unter denen es gilt, und stellt sie ausdrücklich in Frage. Das ist der Umgangston, den diese Seite anstrebt.

Wie weit reicht die Vorhersage heute wirklich?

Vier Zahlen aus vier Quellen. Sie messen nicht dasselbe — das ist der Grund, warum sie sich unterscheiden, und der Grund, warum sie hier mit ihrer Bedingung dabeistehen statt als eine einzige Zahl.

Reichweite der Vorhersage — je nach Maßstab
ZahlWas genau gemessen wirdQuelle
rund 10 Tage Praktische Grenze: Vorlaufzeit, bis zu der eine Vorhersage der mittleren Breiten noch brauchbar ist (Anomaliekorrelation 60 %). Zhang u. a. 2019
14 bis 15 Tage Intrinsische Grenze: was auch mit perfektem Modell und stark verbesserten Anfangsdaten nicht zu überschreiten ist. Zhang u. a. 2019
5,0 → 6,3 Tage Vorlaufzeit, bei der die Anomaliekorrelation der 500-hPa-Geopotentialhöhe über der no­rdlichen Außertropen unter 85 % fällt — 2002 gegen 2022. Macht 0,65 Tage Gewinn je Jahrzehnt. ECMWF 2025
etwa 7 Tage Was der DWD dem deutschen Publikum als Alltagszahl nennt, ohne Detailprognose; bis 10 Tage „grober Trend“. DWD 2017

Der ECMWF räumt im selben Atemzug ein, dass der Fortschritt sich verlangsamt hat: 0,65 Tage je Jahrzehnt statt der früher genannten Faustregel von etwa einem Tag je Jahrzehnt. Die Kurve flacht ab, weil sie sich der Grenze nähert, die Lorenz beschrieben hat.

Und der Gegenpunkt, der dazugehört: Diese Zahlen gelten für die deterministische Vorhersage — eine Rechnung, ein Ergebnis. Wahr­schein­lich­keits­aussagen aus einem Ensemble reichen weiter. Der ECMWF beziffert seinen Skill-Horizont für Gitterpunktfelder auf 16 bis 23 Tage; gemeint ist damit die Vorlaufzeit, ab der das Ensemble nicht mehr besser ist als die bloße Klimatologie. Das ist eine andere Frage als „stimmt die Zahl für Dienstag“ — und genau deshalb zeigt diese Seite vorne eine Streuung und keine Zahl.

Wie weit die eigenen archivierten Vorhersagen dieser Seite von dieser Grenze entfernt sind, lässt sich nachzählen: Faustregel stellt sie je Vorlauftag gegen „wie gestern“ und gegen das langjährige Mittel — gegen die DWD-Messung, nicht gegen ein Modell.

Und im eigenen Archiv? Gemessen statt zitiert

So weit die Literatur. Diese Seite kann die Frage aber auch an sich selbst stellen: Ihr Archiv hält seit Juli 2026 fest, was elf Modelle für die nächsten acht Tage sagten — und was der DWD später gemessen hat. Daraus lässt sich das Fehlerwachstum direkt ablesen, ohne jede Theorie.

0 K 1 K 2 K 3 K 0,7 +0 0,7 +1 0,9 +2 0,9 +3 1,1 +4 1,5 +5 2,4 +6 2,9 +7 Vorlauf in Tagen — je Punkt 675 Vergleiche senkrecht: Fehler der Modellmitte (Median)
Median des Betrags der Abweichung zwischen der Modellmitte (Median der Modelle, die für diesen Tag einen Wert lieferten) und der gemessenen DWD-Höchsttemperatur, je Vorlauftag über 675 Vergleiche. Von 0,7 K am Ausgabetag auf 2,9 K nach sieben Tagen — Faktor 4,1. Die gestrichelte Kurve ist eine exponentielle Anpassung; sie ergibt eine Verdopplungszeit von 3,3 Tagen.

Was diese eigene Zahl nicht ist

Jede Skala hat ihr eigenes Verfallsdatum

Warum eine Gewittervorhersage nach Stunden endet, eine Großwetterlage aber Tage hält, steht schon im Abstract von Lorenz 1969:

„… each scale of motion possesses an intrinsic finite range of predictability … ‚cumulus-scale‘ motions can be predicted about one hour, ‚synoptic-scale‘ motions a few days, and the largest scales a few weeks in advance.“

Lorenz 1969, Abstract, S. 289.

Zhang und Kollegen haben das 2019 mit modernen Modellen nachgerechnet. Ihre Zahlen gelten für eine bestimmte Größe — die 500-hPa-Horizontalwinde in einem Experiment mit zehnfach verkleinertem Anfangsfehler — und sind deshalb keine Alltagszahlen, aber sie zeigen dasselbe Muster: Die Sättigungszeit des Fehlers liegt unter 3 Tagen für Strukturen kleiner als 200 km, unter 5 Tagen für Strukturen kleiner als 400 km und unter 10 Tagen für Strukturen kleiner als 1000 km. Ein Gewitter ist kleiner als jede dieser Zahlen. Deshalb steht auf der Gewitter-Seite, dass sich der Ort nicht Tage vorher bestimmen lässt — das ist keine Bescheidenheit des DWD, das ist Physik.

Was diese Seite daraus macht

Wenn die Vorhersage ein Verfallsdatum hat, sind zwei Dinge unehrlich: eine Zahl ohne Spanne — und eine Spanne, die nie geprüft wird. Deshalb steht auf der Startseite die Spanne aus elf Modellen vor der Zahl, deshalb gibt es den Ensemble-Fächer, der zeigt, wie schnell er aufgeht, und deshalb rechnet die Trefferquote nach, wie oft die Messung wirklich in dieser Spanne lag. Dort steht auch der Befund, der zu dieser Seite gehört: Am siebten Tag traf die Spanne nur noch in 59,6 % der Fälle, bei einem Erwartungswert von 65,5 %. Die Modelle sind sich dort also einiger, als die Wirklichkeit es erlaubt — wenn auch weniger dramatisch, als es zunächst aussah: Ein guter Teil der schmalen Spanne kommt gar nicht von Einigkeit, sondern davon, dass am siebten Tag nur noch rund fünf verschiedene Zahlen übrig sind.

Quellen